Generating Tuples of Integers modulo the Action of a Permutation Group and Applications

Originally motivated by algebraic invariant theory, we present an algorithm to enumerate integer vectors modulo the action of a permutation group. This problem generalizes the generation of unlabeled graph up to an isomorphism. In this paper, we present the full development of a generation engine by describing the related theory, establishing a mathematical and practical complexity, and exposing some benchmarks. We next show two applications to effective invariant theory and effective Galois theory. Initialement motivé par la théorie algébrique des invariants, nous présentons une stratégie algorithmique pour énumérer les vecteurs d’entiers modulo l’action d’un groupe de permutations. Ce problème généralise le problème d’énumération des graphes non étiquetés. Dans cet article, nous développons un moteur complet d’énumération en expliquant la théorie sous-jacente, nous établissons des bornes de complexité pratiques et théoriques et exposons quelques bancs d’essais. Nous détaillons ensuite deux applications théoriques en théorie effective des invariants et en théorie de Galois effective. Generation up to an Isomorphism, Enumerative Combinatorics, Computational Invariant Theory, Effective Galois Theory